数学`.速度`在线等.`.刚刚那位做错了`

n=1, 左边=1，右边=[1*2]^2/4=1。左边=右边。
如果在n=k时候成立，两边同乘k²
1^3+2^3+...+k^3=[k(k+1)]^2/4.

要证明n+1时候也成立,两边同乘(k+1)²
左边=1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3
=[k(k+1)]^2/4+(k+1)^3
=(k+1)^2*[k^2+4(k+1)]/4
=(k+1)^2*(k+2)^2/4
=[(k+1)(k+2)]^2/4
=右边。

所以(1/n)三次方+(2/n)三次方……+(n/n)三次方=(an平方+bn+c)/n对所以正整数n都成立

n=1,(1/1)^3=1=(a+b+c)
n=2,(1/2)^3+(2/2)^3=9/8=(4a+2b+c)/2
n=3,(1/3)^3+(2/3)^3+(3/3)^3=4/3=(9a+3b+c)/3

a+b+c=1 (1)
4a+2b+c=9/4 (2)
9a+3b+c=4 (3)

(2)-(1)得,3a+b=5/4 (4)
(3)-(2)得,5a+b=7/4 (5)

(5)-(4)得,2a=1/2,
a=1/4
b=1/2
c=1/4

即
(1/n)三次方+(2/n)三次方……+(n/n)三次方=(n平方+2n+1)/4n

验证
n=4,(1/4)^3+(2/4)^3+(3/4)^3+(4/4)^3=(1+8+27+64)/64=25/16

(n平方+2n+1)/4n=(16+8+1)/4*4=25/16

得证